MODUL 7
TRANSFORMASI
Z
Transformasi Z untuk sinyal dan sistem waktu diskrit
dapat diekivalenkan dengan transformasi Laplace pada kawasan waktu kontinyu .
9.1 Definisi Transformasi Z
Transformasi
Z dapat diekivalenkan dengan transformasi Laplace pada kawasan waktu kontinyu.
Pada kuliah sistem linier telah kita, yaitu
£ [f(t)] = F(s) = 
atau
jika fungsinya x(t) akan menjadi :
£ [x(t)] = X(s) = 
ini adalah pernyataan dalam
kawasan kontinyu, jika diubah menjadi kawasan diskrit maka integral ( ò ) akan berubah menjadi
sigma ( S ),
dan mangubah bilangan e menjadi variabel z, maka didapatlah definisi
transformasi z seperti dibawah ini.
Transformasi
z X(z) dari deretan sinyal diskrit x(n)
didefinisikan sebagai :
X(z) = 
Pernyataan
definisi diatas biasa dinamakan transformasi z dua sisi, karena variabel n
berlaku untuk negatif dan positif. Ada juga definisi lain, yaitu transformasi z
satu sisi, karena harga n hanya berlaku untuk positif saja. Definisi
transformasi z satu sisi dapat dituliskan sebagai berikut :
|
.
dimana z adalah variabel kompleks, persamaan
ini kadang-kadang dinamakan transformasi-z langsung, karena ia mentransformasi
sinyal domain waktu diskrit x(n) menjadi penggambaran bidang kompleks.
Notasi
: Transformasi-z sinyal x(n) ditunjukkan dengan :
X(z) º Z{x(n)}
Sedangkan hubungan antara x(n) dan
X(z) ditunjukkan dengan
x(n) X(z)
Catatan
: Karena transformasi-z adalah deret pangkat tak berhingga, maka transformasi
ini hanya berlaku untuk nilai-nilai z yang deretnya konvergen. Himpunan semua
nilai z, dimana X(z) mempunyai nilai berhingga disebut Region of Convergence
(ROC) atau daerah konvergensi. Setiap kita menunjukkan transformasi-z, maka
kita juga akan menunjukkan ROC-nya.
9.2
Sifat-sifat
Transformasi-Z
Beberapa sifat transformasi-z yang perlu diketahui adalah :
1. Kelinieran
Jika : 
Dan 
Maka : 
2. Pergeseran waktu (translasi)
Jika : 
Maka : 
Dan 
Bukti :
Z [x (n – no)] = 
= 
=
=
=
= 
3. Perkalian
dengan eksponensial,
Jika : ROC : 
ROC :
Maka : 
ROC : 
ROC :
4. Pembalikan
waktu
Jika : ROC :
ROC :
maka : 
ROC : 
ROC :
5. Diferensial
dalam domain-z
Jika :
Maka : 
Atau : 
6. Teorema nilai awal, jika x(n) adalah kausal, maka :
9.3 Beberapa Transformasi z untuk Fungsi
Sederhana
Dari definisi transformasi-z satu sisi dapat diturunkan
transformasi-z dari fungsi-fungsi sederhana, yaitu :
1. FUNGSI TANGGA SATUAN (UNIT STEP)
: u(n)
Z [ x(n ] = X (z)
= 
Z [u(n) ] = 
= 1 + z-1
+ z -2 + z-3 + ………
= 
|
2. FUNGSI EXPONENSIAL
x (n) = 0 n < 0
= e-an n ³ 0
Z 
=
=
= 1+
z-1 + e--2a z-2
+ ………
z-1 + e--2a z-2
+ ………
|
3. FUNGSI SINUSOIDA :
x (n) = 0 ; n
< 0
x (n) = Sin an ; n ³ 0
= 
Z [sin an] = 
= 
|
Z [cos an] = ½ Z [ejan + e-jan]
= ½ 
|
4. FUNGSI n e-an
Z (n e-an ) = 
= 0 + e-an z-1 + 2e-2a z-2 + 3e-3a z-3
+ …..
|
5. x (n) = n
Z (n) = 
= 0 + Z-1 + 2
Z-2 + 3Z-3 + ….
= Z-1 + Z-2 + Z-3 + … =
+ Z-2 + Z-3
+ … = 
+ Z-3 +
… =
Z(n) = Z-1 (1 + Z-1 + Z-2 + …
)
= 
= 
= 
|
6. x(n) = n2
Z (n2) = S n2
Z-n
= Z-1 + 4Z-2 + 9Z-3 + 16Z-4
+ …
= Z-1 + Z-2 + Z-3 + Z-4
+ …
+ 3Z-2 + 3Z-3
+ 3Z-4 + …
+ 5Z-3 +
5Z-4 + …
+ 7Z-4
+ …
= 
= 
Þ 1 + 3Z-1 + 5Z-2 + 7Z-3
+ …
1 + Z-1 + Z-2
+ Z-3 + … = 
+2Z-1 + 2Z-2
+ 2Z-3 + … = 
+ 2Z-2 + 2Z-3
+ … = 
+ 2Z-3
+ … = 
Þ 
Þ 
Þ 
Þ 
Z (n2) = 
= 
|
PERHATIKAN :
Z-1 + 2Z-2
e–a +
3Z-3e–2a +
….
FUNGSI DI ATAS DIPECAH MENJADI :
Z-1+Z-2e-a+Z-3e-2a+Z-4e-3a +
…. = 
+Z-2e-a+Z-3e-2a+Z-4e-3a +
…. = 
+Z-3e-2a+Z-4e-3a +
…. = 
\ 
= 
= 
= 
7. x(n) = e-bn Sin
an
Z[e-bnSin
an] = 
= 
= 
= 
= 
= 
|
|||
|
|||
8. x (n) = an
Z (an) = San Z-n
= 1 + aZ-1 + a2Z-2 +
a3z-3 + …
= 
|
9. x(n) = an Cos pn
Z [an Cos pn] =
San
Cos pn .
z-n
= 1 + a (-1) z-1 + a2 (1) z-2
+ a3 (-1) z-3 + …
= 
= 
=
|
Jelaskan peran transformasi Z pada sebuah sinyal baik sinyal analog ataupun digital
BalasHapus